Flow of Real Fluids by Gerd E.A. Meier, Frank Obermeier

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5 Prodotti di operatori, Commutatori, Osservabili compatibili Il prodotto di due operatori e` definito da f gψ ≡ f (gψ). 61) In generale gli operatori f g e gf sono diversi. Il commutatore tra due operatori f e g e` definifto da [f, g] ≡ f g − gf. 62) Se [f, g] = 0, i due operatori commutano. 63) (cfr. ) Nella discussione delle osservabili gioca un ruolo importante il seguente Teorema: Se due operatori f e g commutano, esiste una base di stati ortonormali e completi {ψn } tale che f ψn = fn ψn ; gψn = gn ψn .

Questi ultimi sono autovalori del relativo operatore Hermitiano. 1 Lo stato quantistico e il principio di sovrapposizione La discussione dell’esperimento di Tonomura et. 123). Questi ci porta a definire uno stato quantistico non in termini di valori simultanei {p, q} delle variabili canoniche, ma con una sorta di onda. 1) chiamata funzione d’onda. 1 La conoscenza della funzione d’onda equivale alla completa conoscenza dello stato quantistico. Essa permette di calcolare le probabilit`a di ottenere determinati risultati in qualsiasi tipo di misura.

65) g agisce come un operatore unit`a (a parte una moltiplicazione di un numero), Gij = dq ψ j∗ g ψ i = gn δij . 66) dove abbiamo utilizzato la linearit`a di f e il fatto che f e g commutano, per concludere che f ψni e` un autostato di g con autovalore gn . Dal fatto che l’operatore f e` Hermitiano segue che (sopprimendo l’indice n) Fij = dq ψ j∗ f ψ i = dq (f ∗ ψ j∗ )ψ i = ( dq ψ i∗ f ψ j )∗ = Fji∗ : F e` una matrice Hermitiana. Una matrice Hermitiana pu`o essere diagonalizzata con un atrasformazione unitaria φi = (U −1 )ij ψ j = Uij† ψ j ,   f1 0 · · ·  0 f2 .

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